by Roberto Giunti |
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| Ed ora, l'ultimo passo. Riferiamoci ancora ad un rettangolo nello spazio 2D, manteniamo le due regole per l'uscita e il rientro dai lati orizzontali e verticali della figura, e introduciamo una piccola ma importante alterazione della seconda: quando usciamo dal lato superiore possiamo rientrare dal basso, ma scambiando destra e sinistra, e viceversa, (Fig. 36B e 36C).
E' facile verificare
che quando passiamo dal cilindro al toro non abbiamo questo scambio
fra destra e sinistra. Vediamo in Fig. 35A i bordi del toro prima della
chiusura: percorriamo le due circonferenze con lo stesso orientamento
(orario o antiorario in entrambi i casi).
Dunque il toro
non si accorda col nuovo scambio della seconda regola. Per ottenere
l'effetto desiderato, occorre che il cilindro penetri se stesso (con
una autointersezione) prima di chiudersi, come illustrato in Fig. 36A.
La nuova strana figura è chiamata Bottiglia di Klein (dal matematico Klein). L'animazione A1 aiuta a visualizzare la formazione della bottiglia a partire da un semplice rettangolo per mezzo di due chiusure circolari simultanee. (En passant: dobbiamo ammettere che la superficie kleiniana sarebbe un ottimo posto su cui disegnare una sega suicida!) Questo oggetto ha molte strane proprietà topologiche, fra cui citiamo la più importante per il presente contesto: mentre il toro ha due facce (interna ed esterna) la bottiglia di Klein ha solo una faccia, perché con questa figura noi perdiamo la distinzione fra interno ed esterno, come possiamo facilmente verificare con un piccolo sforzo di immaginazione, con una esplorazione mentale dell'oggetto. L'animazione A2 può servire allo scopo. Tutto ciò si accorda con l'affermazione : «L'interno e l'esterno (per esteso 4) possono ricevere una simile identificazione». Una domanda interessante: il suggerimento di Duchamp ad uno spazio 4D in questa nota ha forse una corrispondenza col fatto noto che in uno spazio 4D potremmo realizzare una bottiglia di Klein senza superfici che si intersecano? La necessità della quarta dimensione per la costruzione della bottiglia di Klein senza aoutopenetrazioni è chiaramente e intuitivamente mostrato in modo non tecnico da Rosen (1997) con alcune importanti implicazioni filosofiche. Infine, possiamo ipotizzare un possibile significato della chiusa della enigmatica nota, riguardo al fatto che l'asse «non è più verticale e non ha più l'apparenza unidimensionale»: se guardiamo agli assi come alle linee lungo le quali chiudiamo due volte il rettangolo (la prima per passare al cilindro, e la seconda per passare alla bottiglia di Klein) non abbiamo più un asse, ma due, e così non abbiamo più unidimensionalità.
Nella costruzione di una bottiglia di Klein, ho mostrato che per ottenere il necessario scambio destra-sinistra nella seconda saldatura occorre effettuare una autopenetrazione. Si può tuttavia ottenere un simile scambio tagliando un cilindro e richiudendo la superficie dopo una torsione a 180°, come mostra l'animazione A3. Se ne origina una figura topologica chiamata Anello di Moebius; questa strana figura ha una singola faccia ed un singolo bordo. Dalla congiunzione di due anelli di Moebius lungo il loro unico bordo, otteniamo una bottiglia di Klein, come l'animazione A4 può aiutare a visualizzare.
Nella realizzazione di Traveller's sculpture del 1918 (Fig. 37), Duchamp sembra utilizzare una tecnica che richiama abbastanza da vicino le operazioni descritte sopra. E' noto che incollò fra loro diverse strisce di gomma colorata irregolari, tagliate da cuffie da bagno. L'oggetto originale è andata perso e quindi occorre riferirsi alle storiche fotografie ed alla descrizione che Duchamp stesso ne fece.Nelle fotografie storiche sembra di intravedere con qualche difficoltà sia autopenetrazioni che torsioni; la descrizione dell'opera che Duchamp fece a Jean Crotti (Effemeridi, 8 luglio 1918) parla di strisce di gomma «incollate assieme, ma non piatte» (corsivo mio); penso che alludesse proprio a qualche torsione (come quella necessaria per l'anello di Moebius) prima dell'incollatura. Dalla stessa fonte apprendiamo che Duchamp considerava la Scultura da viaggio più interessante della pittura Tu m'. >>Next Fig.
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